Магнитное поле кольца с током

Закон Био-Савара-Лапласа

Рис. 1: Магнитное поле, создаваемое бесконечным проводником с током

Элемент тока $I\,d\vec l$ создаёт магнитное поле в точке с радиусвектором $\vec r$ с индукцией:

\[d\vec B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{[d\vec l \times \vec r]}{r^3}.\]

(1)

Выражение (1) носит название закона Био-Савара-Лапласа. С помощью него можно найти индукцию магнитного поля, создаваемую тонким бесконечным проводником, по которому протекает ток $I$. Для этого найдём вектора $d\vec l$ и $\vec r$ из Рис. 1 и подставим в (1), тогда:

\[dl=\frac{R}{\cos^2\varphi}d\varphi,\, r=\frac{R}{\cos\varphi},\, dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{\cos\varphi}{R}d\varphi.\]

(2)

Тогда, проинтегрировав $dB$ по углу $\varphi$ от $-\pi/2$ до $\pi/2$ получим известное выражение для индукции проводника с током на расстоянии $R$:

\[B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{1}{R}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi d\varphi=\frac{\mu_0 I}{2\pi R}.\]

(3)

Кольцевой виток с током

Рис. 2: Магнитное поле, создаваемое кольцевым током

Воспользуемся теперь законом Био-Савара-Лапласа для нахожения индукции магнитного поля, создаваемого кольцевым током на расстоянии $z$ от плоскости кольца и расстоянии $y$ от оси (Рис. 2). Тогда, выражения для $d\vec l$ и $\vec r$ и их векторного произведения будут иметь вид:

\[ d\vec l= \left(\begin{array}{c} -R\cos\varphi\\ -R\sin\varphi\\ 0 \end{array} \right)d\varphi,\, \vec r=\left(\begin{array}{c} R\sin\varphi\\ -(R\cos\varphi-y)\\ z \end{array} \right),\, [d\vec l \times \vec r]=\left(\begin{array}{c} -Rz\sin\varphi\\ Rz\cos\varphi\\ R(R-y\cos\varphi) \end{array} \right)\, d\varphi, \]

(4)

и компоненты магнитной индукции:

\[ B_x(y,z)=-\frac{\mu_0IRz}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin\varphi}{(R^2+z^2+y^2-2Ry\cos\varphi)^{3/2}}\,d\varphi, \]

(5)

\[ B_y(y,z)=\frac{\mu_0IRz}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\cos\varphi}{(R^2+z^2+y^2-2Ry\cos\varphi)^{3/2}}\,d\varphi, \]

(6)

\[ B_z(y,z)=\frac{\mu_0IR}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R-y\cos\varphi}{(R^2+z^2+y^2-2Ry\cos\varphi)^{3/2}}\,d\varphi. \]

(7)

Первый интеграл $B_x$ будет равен нулю (предлагается доказать самостоятельно). Остальные два интеграла не имеют аналитического результата и могут быть найдены только численно. Но, в частном случае, когда конец вектора $\vec r$ лежит на оси кольца, то $y=0$ и второй интеграл $B_y$ также обращается в нуль, а третий интеграл имеет значение:

\[ B_z(z)=\frac{\mu_0IR^2}{4\pi(R^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}d\varphi=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}. \]

(8)

Калькулятор

Индукция магнитного поля на расстоянии R от проводника с током (3)

B = Тл

Индукция магнитного поля на оси кольца с током на расстоянии Z от плоскости кольца (8)