Оглавление

• I. Теорема Блоха.
• II. Модель Кронига-Пенни.
• III. Дираковская потенциальная гребёнка.
• IV. Периодические потенциальные барьеры.
• Вопросы к задаче.
• Список литературы.
• Калькулятор.

I. Теорема Блоха

В любом металле газ свободных электронов не является абсолютно идеальным. Электроны взаимодействуют как между собой, так и с ионами кристаллической решётки. Поэтому, теории металлов, основанные на приближении свободных электронов (Друде и Зоммерфельда), не всегда дают точные предсказания для электрических и термодинамических свойств некоторых материалов. Отсюда следует необходимость учёта потенциала кристаллической решётки, который меняет свойства свободного электрона.

В идеальном бесконечном кристалле соблюдается строгая периодичность расположения атомов, которая определяется решеткой Браве. Общее количество всевозможных решёток Браве равно 14 (Рис. 1). При этом, потенциал, в котором будут находиться электроны также будет обладать данной периодичностью:

где R – вектор решетки Браве или вектор трансляции. Плотность электронов в точке r, определяемая как квадрат модуля волновой функции электрона |ψ(r)|^2, в силу периодичности потенциала тождественна плотности электронов в точке r+R. Значит волновая функция в точке r может отличаться от волновой функции в точке r+R только на фазовый множитель, зависящий от вектора трансляции R:

где k – волновой вектор электрона в периодическом потенциале (1) или блоховского электрона. Выражение (2) называется теоремой Блоха, согласно которой волновые функции одноэлектронного гамильтониана, содержащего периодический потенциал U(r) можно записать в виде:

где $u_n(\mathbf{r})=u_n(\mathbf{r+R})$ – некая периодическая функция, $n\in[0,\infty)$ – номер решения, или номер зоны Бриллюэна. Нетрудно видеть, что выражения (2) и (3) эквивалентны.

Из теоремы Блоха следует, что волновая функция электрона периодична в обратном пространстве с периодом равным произвольному вектору обратной решетки K. Это вытекает из выражения (2), так как по определению обратной решетки $e^{i\mathbf{KR}}=1$. Но если волновая функция блоховского электрона периодична в обратном пространстве, то и его энергия также периодична с этим же периодом $\varepsilon_n(\mathbf{k})=\varepsilon_n(\mathbf{k+K})$. Поэтому расчет закона дисперсии блоховского электрона $\varepsilon_n(k)$ достаточно проводить только для первой зоны Бриллюэна.

В начало $\uparrow$

II. Модель Кронига-Пенни

Модель Кронига-Пенни является простейшей моделью электронной структуры одномерного кристалла. В этой модели периодический потенциал представляется в виде прямоугольных потенциальных ям шириной a и прямоугольных потенциальных барьеров шириной b (период a+b) и высотой V₀, как это изображено на Рис. 2.

В начало $\uparrow$

III. Дираковская потенциальная гребёнка

Если $b\to0$ и $V_0\to\infty$ так, что $bV_0=\hbar^2\Omega/m$, где параметр $\Omega$ имеет размерность волнового вектора, то потенциал в модели Кронига-Пенни называют дираковской потенциальной гребёнкой, и его записывают в виде:

где a – период решётки. На интервале $x\in(0,a)$ волновая функция электрона с энергией E является суперпозицией набегающих и отражённых плоских волн:

где A и B – неизвестные коэффициенты, $\kappa=\sqrt{2mE/\hbar^2}$ – волновой вектор свободного электрона с энергией E. Из теоремы Блоха следует, что волновая функция на соседнем интервале $x\in(a,2a)$ будет отличаться на фазовый множитель $e^{ika}$:

где k – неизвестный волновой вектор блоховского электрона в периодическом потенциале.

Условия «сшивания» на границе x=a дают систему уравнений:

или:

Нетрудно убедиться, что решение для $e^{ika}$ будет являться решением квадратного уравнения:

Действительная часть решения равная $\cos{k a}$ не должна превышать по модулю значения 1, следовательно можно записать условие для допустимых значений волнового вектора свободного электрона $\kappa$ и энергии $E$:

Результат представлен на Рис. 3 при a=3 Å, Ω=3 Å^-1.

Из уравнения:

видно, что волновой вектор блоховского электрона k совпадает с волновым вектором свободного электрона $\kappa$, также как и их энергии, при условии $\kappa a=\pi n$. В остальных случаях они различаются. Если искать решение этого трансцендентного уравнения относительно импульса $\kappa_n$, где n определяет интервал значений $[\pi n,\pi(n+1)]$, для произвольного ka на интервале $[-\pi,\pi]$ и построить зависимость энергии $E_n=\hbar^2 \kappa_n^2/(2m)$ от $ka$ (закон дисперсии), то можно увидеть области разрешенных и запрещенных энергий для электрона в периодическом потенциале (Рис. 4). Закон дисперсии блоховского электрона уже не является квадратичным, как в случае свободных электронов. Таким образом, он превращается в квазичастицу со своим законом дисперсии и эффективной массой, не равной массе свободного электрона.

Если устремить параметр Ω к нулю (предел свободных электронов), то энергетические зоны начнут расширяться, а барьеры между ними исчезать. При этом, закон дисперсии будет стремиться к квадратичному. Если, наоборот, устремить Ω к бесконечности (предел сильной связи), то энергетические барьеры будут увеличиваться, а разрешённые значения энергии будут сужаться до дискретных значений в точках $\kappa a=\pi n$.

В начало $\uparrow$

IV. Периодические потенциальные барьеры

Для примера рассмотрим теперь периодический потенциал следующего вида: прямоугольные потенциальные барьеры высотой V₀, шириной b и расстоянием между ними a (Рис. 2).

Запишем искомые волновые функции электронов внутри области (индекс b) и вне области (индекс w) барьеров:

где $q^2=2m(V_0-E)/\hbar^2$, $E\lt V_0$, $\kappa^2=2mE/\hbar^2$. Тогда, согласно теореме Блоха, волновые функции в соседней области, смещённой на шаг a+b будут иметь вид:

Условия «сшивания» на границах самих функций и их производных в точках x=0 и x=a приводят к системе уравнений:

Или:

Решение получившейся однородной системы линейных уравнений относительно коэффициентов $A_b$, $B_b$, $A_w$, $B_w$ даёт тривиальный нулевой результат. Условие существования нетривиального решения такой системы – это равенство нулю её определителя:

Решение уравнения (16) даёт выражение для волнового вектора блоховского электрона k:

Следовательно, условие для допустимых значений волнового вектора свободного электрона $\kappa$:

Решение трансцендентного уравнения (17) относительно энергии $E_n=\hbar^2 \kappa_n^2/(2m)$, где $n$ определяет энергетическую зону, для произвольного $k(a+b)$ на интервале $[-\pi,\pi]$ (первая зона Бриллюэна) даст закон дисперсии блоховского электрона в данном периодическом потенциале. Но задача, по сравнению с первым примером, осложняется тем, что периоды левой и правой частей уравнения не совпадают, так как присутствует экспоненциальный множитель в виде гиперболической функции. Тем не менее, задача решается численно, и результаты для первых четырёх энергетических зон для случая a=4 Å, b=1 Å, V₀=3 эВ в первой зоне Бриллюэна представлены на Рис. 5 (схема приведённых зон). Если транслировать кривые энергий в приведенной схеме на соседние зоны Бриллюэна, то в результате получится периодическая зонная схема, изображенная на Рис. 6. Кроме этих двух схем, представленных на Рис. 5 и Рис. 6, различают ещё одну (Рис. 7), где различные энергетические зоны размещены в обратном пространстве в различных зонах Бриллюэна (расширенная зонная схема), из которой видно, что при больших значениях волнового вектора ($k\gg 2mV_0/\hbar^2$) закон дисперсии стремится к квадратичному пределу свободного электрона. Нетрудно убедиться, что если V₀=0, то решением будет являться $k=\kappa$ (предел свободных частиц).

В начало $\uparrow$

Вопросы к задаче

• Рассчитайте энергетическую щель между первой и второй энергетической зоной для электрона в периодическом δ–образном потенциале с параметрами a=3 Å, Ω=4 Å.
• На сколько отличается энергия электрона в периодическом δ–образном потенциале с параметрами a=3 Å, Ω=4 Å в центре зоны Бриллюэна в первой и второй энергетической зоне от энергии свободного электрона.
• Рассчитайте разницу между шириной первой энергетической зоны в периодическом δ–образном потенциале с параметрами a=3 Å, Ω=4 Å и a=3 Å, Ω=20 Å.

В начало $\uparrow$

Список литературы

• [1] Б.К. Вайнштейн, Современная кристаллография, т.1, М. Наука, 1979.
• [2] Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела, т.1, М. Мир, 1979.
• [3] Дж. Займан, Принципы теории твёрдого тела, М. Мир, 1966.
• [4] Ч. Киттель, Введение в физику твёрдого тела, М. Наука, 1978.

В начало $\uparrow$

Калькулятор

---

---