Соленоид – это цилиндрическая обмотка из провода по которой протекает постоянный или переменный электрический ток. Обмотка может наноситься в один или несколько слоёв виток к витку. Если длинна соленоида значительно превышает его диаметр, то поле, создаваемое постоянным током сосредоточено внутри него и практически однородно.

Магнитное поле соленоида

Рис. 1: Магнитное поле, создаваемое серией кольцевых токов

Для вычисления индукции магнитного поля $\vec B$ внутри однослойного соленоида представим его в виде суперпозиции кольцевых токов лежащих на одной оси – оси соленоида (Рис. 1) и воспользуемся теоремой о циркуляции:

\[\oint_{ABCD} B_l\,dl=\int_{AB} B_l\,dl + \int_{BC} B_l\,dl + \int_{CD} B_l\,dl + \int_{DA} B_l\,dl = \mu_0 \sum_{i=1}^{N} I_i.\]
(1)

Если пренебречь краевыми эффектами, то первое и третье слагаемые в (1) будут равны нулю, так как магнитное поле перпендикулярно контуру и $B_l=0$. Если контур выбрать так, что $AD$ будет лежать на большом расстоянии от соленоида, где поле стремиться к нулю, то и четвёртое слагаемое в (1) также превратиться в нуль. Тогда, учитывая приближение однородности поля получим:

\[B_l L=\mu_0 NI,\]
(2)

где $L$ – длина соленоида, $N$ – количество витков. Если ввести понятие плотности витков (число витков на единицу длины) $n=N/L$, то индукцию магнитного поля внутри соленоида (2) можно записать в виде:

\[B=\mu_0 nI.\]
(3)

Соленоид произвольных размеров

Рис. 2: Соленоид с произвольными размерами $L$ и $R$.

Чтобы получить точное выражение для индукции магнитного поля в любой точке на оси конечного соленоида необходимо воспользоваться законом Био-Савара-Лапласа (Рис. 2), который приводит к следующему выражению:

\[B=\frac12\mu_0 nI (\cos\alpha_2-\cos\alpha_1).\]
(4)

В частном случае, в середине соленоида, где магнитное поле максимально выражение для индукции будет иметь вид:

\[B_{max}=\frac{\mu_0 nIL}{\sqrt{4R^2+L^2}},\]
(5)

где $R$ – радиус соленоида. А на краю полубесконечного соленоида:

\[B=\frac12 \mu_0 nI.\]
(6)

Калькулятор

Индукция магнитного поля бесконечного соленоида (3)


Индукция магнитного поля конечного соленоида (5)


Распределение индукция магнитного внутри конечного соленоида (4)